Aljabar Boolean | hukum | tabel kebenaran [3]

<; Aljabar Boolean pertama kali dipresentasikan oleh George Boole (1815-1864) ditahun 1849. Boole memberikan skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan penalaran (reasoning) George Boole berhasil menemukan hubungan antara sifat-sifat gerbang logika dasar dan suatu persamaan terhadap sifat-sifat matematika Aljabar yang kemudian dikenal dengan Aljabar Boolean.

Aljabar Boolean adalah suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua bilangan yaitu �?0�? dan �?1�?. Bilangan ini digunakan untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu terminal. Keadaan (state ini) pada umumnya dianalogikan dengan level tegangan

Gerbang Logika dioperasikan berdasarkan metode sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 simbol angka yakni 0 dan 1 dengan menggunakan pendekatan Teori Aljabar Boolean. Digunakannya metode sistem bilangan biner karena kemudahan dalam mengkonversi kondisi tegangan yang naik turun (high and low) dengan persamaan 0 dan 1

Aljabar Boolean

Kompetensi Dasar

• 3.2. Menganalisis relasi logika dasar, kombinasi dan sekuensial (NOT, AND, OR); (NOR,NAND,EXOR,EXNOR)
• 4.2. Merangkai fungsi gerbang logika dasar, kombinasi dan sekuensial (NOT, AND, OR);(NOR,NAND,EXOR,EXNOR)

---

Indikator pencapaian kompetensi dasar 4.2 Merangkai fungsi gerbang logika dasar, kombinasi dan sekuensial
Materi Aljabar boole

1. Pengertian Aljabar Boolean
2. Manfaat Aljabar Boolean
3. Tabel kebenaran
4. Postulate aljabar Boolean
5. Hukum-hukum aljabar Boolean

---

Tujuan saya belajar
Setelah mempelajari materi Aljabar boole saya dapat:

1. Menjelaskan pengertian aljabar Boolean menggunakan bahasa sendiri
2. Menyebutkan manfaat aljabar Boolean
3. Membuat simbol dan tabel kebenaran Gerbang logika NOT

---

Media dan sumber belajar

1. Media:Powerpoint dan Google slide
2. Sumber belajar: Buku, Modul dan LKS Sistem komputer, Internet

---

Alat dan bahan

1. Buku coretan

Prasyarat

1. Menguasai kompetensi dasar 3.1 memahami sistem bilangan (Desimal,biner,oktal dan heksadesimal

---

Pengertian Aljabar Boolean

Aljabar Boolean atau Boolean Algebra adalah ilmu matematika yang digunakan untuk menganalisa dan menyederhanakan Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika terutama yang menggunakan gerbang logika.

.

Memahami Logika Aljabar boolean dan gerbang logika

Keadaan Logika (Logic state) memberi pembatasan yang pasti sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.

Oleh karena itu dalam gerbang logika dikenal aturan-aturan sebagai berikut :

1. Suatu keadaan tidak dapat keduanya benar (TRUE) dan salah (FALSE) sekaligus
2. Masing-masing adalah hanya BENAR (TRUE) atau SALAH (FALSE)
3. Suatu keadaan disebut BENAR (TRUE) bila TIDAK SALAH (NOT FALSE)

Dua keadaan yang saling bertentangan itu dalam Aljabar Boolean ditunjukkan dengan dua konstanta,yaitu Logika 1 dan logika 0.Misalnya :

Logika 1 �? Logika 0
Benar �? Salah
Basah �? Kering
Siang �? Malam
ON �? OFF
Positip �? NEGATIP

Manfaat Aljabar Boolean

1. Jumlah komponen transistor yang diperlukan menjadi lebih sedikit.
2. Biaya pembuatan komponen elektronika seperti IC lebih murah.
3. Waktu yang diperlukan untuk membuat rangkaian lebih singkat.
4. Waktu respon (tanggapan) rangkaian menjadi lebih cepat karena delay (waktu tunda) rangkaian berkurang.
5. Ukuran (dimensi) fisik rangkaian lebih kecil.
6. Bobot rangkaian lebih ringan.
7. Analisa rangkaian lebih mudah.

Tabel kebenaran

Tabel kebenaran adalah penjabaran dari bagaimana output yang diinginkan berdasar logika input yang akan diproses. Pada dasarnya, gerbang logika hanyalah alat, sedangkan rancangan rangkaian supaya output bekerja sesuai harapan, tergantung analisa dari data input yang diberikan

.
Contoh:

Diberikan data tabel kebenaran menggunakan 2 input, 3 input dan 4 input. Anda boleh menggunakan gerbang logika apa saja, agar hasil output sesuai tabel kebenaran.

<;

tabel kebenaran dari sebuah data yang akan diproses menjadi output yang diharapkan

Menganalisa tabel kebenaran untuk merancang sebuah solusi

Untuk memahami lebih jauh tentang tabel kebenaran, anda akan saya bawa merancang Water level Controller ( Kendali level air ) yang biasa kita temui pada sistem kendali tandon air.

<;

Rancangan pengendali tandon air dan Tabel kebenaran pada water level controller

Cara kerjanya sebagai berikut:

1. Terdapat 3 sensor (input)S1,S2,dan S3.
2. Jika air penuh, 3 sensor sekaligus terendam air, maka S1,S2,S3 state Logikanya anggaplah 0,0,0 dan output LOW (pompa air mati). Pemilihan logika LOW untuk kondisi output pompa hanya untuk mempermudah pemahaman. Karena ada juga logika HIGH dikondisikan sebagai OFF state (kembali ke si perancangnya)
3. Jika air turun, melewati S1, sensor terendam air S2 dan S3, maka state logikanya 1,0,0 dan output LOW (pompa air masih mati)
4. Jika air turun, melewati S2, sensor terendam air S3, maka state logikanya 1,1,0 dan output LOW (pompa air masih mati)
5. Jika air turun, melewati S3, sensor tidak terendam air, maka state logikanya 1,1,1 dan output HIGH (pompa air hidup)
6. Jika air naik, melewati S3, sensor terendam air S3, maka state logikanya 1,1,0 dan output HIGH (pompa air hidup)
7. Jika air naik, melewati S2, sensor terendam air S3,S2 maka state logikanya 1,0,0 dan output HIGH (pompa air hidup)
8. Jika air naik, melewati S1, sensor terendam air S3,S2,S1 maka state logikanya 0,0,0 dan output LOW (pompa air mati)

Tugas anda, buatlah tabel kebenarannya berdasarkan informasi cara kerja diatas

S1	S2	S3	Kondisi Pompa	Keterangan
0	0	0	OFF	Sensor 1,2,3 terendam air
1	0	0	OFF	Sensor 1 tidak terendam
1	1	0	OFF	Sensor 1,2 tidak terendam
1	1	1	ON	Sensor 1,2,3 tidak terendam
1	1	0	ON	Sensor 1,2 tidak terendam
1	0	0	ON	Sensor 1 tidak terendam
0	0	0	OFF	Sensor 1,2,3 terendam air

Nah,kira-kira beginilah tabel kebenaran berdasarkan data yang inginkan oleh si perancang. Ada yang berbeda? Silahkan berkomentar, karena solusi itu sangat banyak, jadi ini bukanlah satu-satunya pemecahan masalah.

Postulate aljabar Boolean

Pada Aljabar Boolean dikenal dengan istilah Postulate (walau tidak semua akademisi menggunakan istilah ini). Postulate adalah aturan dasar dapat disebut yang merupakan penjalin dari konstanta gerbang dasar AND, OR dan NOT.

Aljabar Boolean sangat dekat hubungannya dengan Aljabar matematika Himpunan maka untuk penulisan beberapa fungsinya dapat menggunakan tanda titik . atau x untuk fungsi AND dan tanda plus + untuk fungsi OR seperti contoh :

A �? B dapat ditulis A . B atau AB atau AxB
A �? B dapat ditulis A + B

Postulate gerbang logika AND

<;

Gambar 1.Postulate gerbang logika AND

Postulate gerbang logika OR

<;

Gambar 2.Postulate gerbang logika OR

Postulate gerbang logika NOT

<;

Gambar 3.Postulate gerbang logika NOT

Hukum-hukum aljabar Boolean

Aturan dan hukum dalam Aljabar Boolean yang telah ditetapkan sebagian sama dengan Aritmatika atau Aljabar biasa, dimana untuk Aljabar Boolean berlaku hukum - hukum seperti dibawah ini : .

Penjalinan konstanta

<;

Gambar 4.Konstanta

Hukum inversi (pembalik) dua kali

<;

Gambar 5.inversi

Hukum Komplemen

<;

Gambar 6.Komplementasi

Hukum Perluasan

Suatu variabel masukan dapat dijalin berulang-ulang dengan diri sendiri baik secara fungsi AND maupun OR tanpa merubah hasil akhir. <;

Gambar 7.Indempotent

Hukum Komutatip

Variabel masukan yang dikaitkan dengan hanya satu jenis jalinan dapat saling dipertukarkan pada operasinya <;

Gambar 8.Komutatip

Hukum Asosiatif

Pada penjalinan yang sejenis, tanda kurang dapat dihilangkan atau dibentuk tanda kurung baru atau elemen-elemen di dalam kurung dapat dipertukarkan. <;

Gambar 9.Asosiatip

Hukum Distributif

Pada suatu operasi perhitungan terdapat penjalinan antara Konjungsi (AND) dan Disjungsi (OR), maka berlaku aturan berikut : <;

Gambar 10.Distribusi

Hukum Absorbsi (penyerapan)

Suatu operasi hitungan dengan tiga suku ( dua variabel ) dan dua tanda jalinan yang berbeda , dapat diserap menjadi satu suku. <;

Gambar 11.Absorbsi

Hukum Distributif

<;

Gambar 12.Distribusi

Hukum Demogram

<;

Gambar 13.Demogram

Nah, gimana? Ini masih teori, nanti kita praktikan bagaimana Aljabar Boolean dan memecahkan permasalahan dalam gerbang logika (rangkaian logika). See you next week!